☆ Loi de Poisson

Soit  \(a\)  un réel strictement positif et  \(n\)  un entier naturel non nul.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale  \(\mathcal{B}\left(n;\dfrac{a}{n}\right)\) .

1. Soit  \(k\)  un entier naturel inférieur ou égal à  \(n\) .
Montrer que  \(P(X=k)=\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{n-k} \times \dfrac{a^k}{k!} \times \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\) .
2. Déterminer  \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\) .
3. Déterminer  \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{-k}\) .
4. Pour tout entier naturel non nul  \(n\) , on pose  \(u_n=\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^n\) .
    a. En utilisant l a définition du nombre dérivé , déterminer  \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}\) .
    b. En déduire  \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\ln(u_n)\)  puis  \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\) .
5. Déterminer alors  \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P(X=k)\) .